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Mie 散射系數(shù)的新算法

Mie 散射系數(shù)的新算法
濟南微納  2015-09-15  |  閱讀:10088

Mie 散射系數(shù)的新算法

王少清 任中京 張希明 何芳 江海鷹

(山東建筑材料工業(yè)學(xué)院,,濟南 250022)

提要:介紹了一種計算Mie散射系數(shù)的新方法,給出了計算實例。

關(guān)鍵詞:米氏散射,,Mie系數(shù),,Mie計算

New algorithm of Mie scattering parameters

Wang Shaoqing  Ren Zhongjing Zhang Ximing  HeFang  Jiang Haiying

(Shandong Institute o f Building MaterialsJinan 250022)

AbstractA new algorithm of calculating Mie Parameters was introduced. Some calculation results done with this algorithm were given.

Key words: Mie scattering ,,Mie parameters,,Mie calculation

1 引言

Mie 理論是球形顆粒對單色光的散射場分布的嚴(yán)格解析解[1],目前在環(huán)保,、動力,、氣象、天文,、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用,。利用單一顆粒或顆粒群光散射場的測量數(shù)據(jù),??梢苑赐频蒙⑸漕w粒或顆粒群的很多物理性質(zhì),,如顆粒的尺寸,、顆粒的折射率等[2]。但反推必須事先計算出各種尺寸的顆粒在各種復(fù)折射率下的散射場分布數(shù)據(jù),。1968 Dave[3]最先發(fā)表了完整的Mie散射計算方法,,以后Lentz[4]Wiscomb[5]又針對部分計算提出了新算法。國內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法[6,、7,、8]。但總的看來,,這些算法均有各自的局限性,。尤其是當(dāng)顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時,往往計算速度過慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象,。本文介紹作者發(fā)展的Mie 散射新算法,。該算法的特點是不受顆粒尺寸及折射率的限制,不會產(chǎn)生溢出和不收斂的現(xiàn)象,,且具有較快的計算速度,。

2 Mie散射系數(shù)的計算公式

Mie 散射計算的中心問題是計算Mie 散射系數(shù)an bn,其表達式為[9]

其中為顆粒的尺寸參數(shù),,定義為α=πd/λ,d為顆粒直徑,,λ為入射光在顆粒周圍介質(zhì)中的波長,,而m為顆粒在周圍介質(zhì)中的相對復(fù)折射率,即m= m1 + im2 ( m2< 0) , 式中i 為虛數(shù)單位。而Ψn( Z) 和ξn( Z) ( Z 既表示α,,又表示mα)的表達式為

Ψn( Z)=πZ/2)Jn+1(Z)

ξn( Z)=Ψn( Z)+iΧn(Z)

Χn(Z)= ? (πZ/2)( ? 1)n-1J-(n-1)(Z)

     = ? (πZ/2)Nn+1(Z)

3 計算中產(chǎn)生溢出的原因

計算Mie 散射系數(shù)須先計算Ψn Χn,。一般采用遞推的方法。遞推又分為向前遞推( 即從n= 0 開始) 與向后遞推( 即從n= N 開始至n=0, N 為預(yù)先設(shè)定值) ,。實驗表明,,向前遞推總是快于向后遞推。Ψn Χn的初值為

分析以上兩式可知,,當(dāng)m20 , 若顆粒尺寸d很大, 或復(fù)折射率的虛部值m2很大,,將使得乘積m2d很大,可使兩式中的項exp( - m2 α) =exp ( - πm2d/ λ) 的值超過計算機的數(shù)據(jù)限,,從而產(chǎn)生溢出,,這是產(chǎn)生溢出的重要原因。另外,,在遞推過程中,,不恰當(dāng)?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?/span>

4 anbn的新算法

為解決上述問題,作者提出了新的算法,。將anbn的公式變形如下:

其中Lnr,、Lnj分別表示Ln(m)的實部與虛部。將(2)式代入(1)式,,并用anr,、anjbnrbnj分別表示的實部與虛部,。如此可推得

在上述四個公式中采用比值的形式是非常重要的,,這樣可避免遞推過程中當(dāng)aibi   較大時乘法運算可能產(chǎn)生的溢出。這是本算法的一個重要特點,。在以上四式中

由于均為實變量函數(shù),,計算不產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是  的算法如何處理,,才能保證計算中不產(chǎn)生溢出,。在Lentz的算法中是采用連分式計算Ln的值,其精度的保證是由在大量計算基礎(chǔ)上得出一個截斷項數(shù)N與參數(shù)am的經(jīng)驗公式而實現(xiàn)的,。這樣的經(jīng)驗公式,,一則有實用上的局限性,再則也會帶來截斷誤差,。文獻(6)對此經(jīng)驗公式做了改進,,但仍陷于a=1~100m1=1~2,,m2=0~1的范圍,。下面介紹本文作者發(fā)展的關(guān)于Ln的新算法,。該算法的特點是不受am值的限制,不會產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象,,且具有較快的計算速度,。令

 

上面導(dǎo)出的(3) - (20)諸式,構(gòu)成了Mie系數(shù)anbn的完整算法,。由于anbn是從n= 1開始計算,,利用初值公式(16) - (20)即可算得任意級數(shù)的anbn的值,故沒有舍入誤差的問題,。從(16)式可見,,因為y= m2ɑ0, 故無論m2ɑ取何值均不會產(chǎn)生溢出,再加上(3)的各式中采用了比的形式,,又避免了計算過程中的溢出,,這就從根本上解決了溢出的問題。

5 計算實例

利用以上算法編制了計算顆粒散射場強度和消光系數(shù)的計算機程序,。當(dāng)波長為λ的單位振幅的平面自然光入射顆粒時,,顆粒的散射光強為[9]

Ξ為計算機在雙精度下的最小數(shù)據(jù)限。

1示出散射光強的一組計算實例,。其中取m1=1.33,,m2=-0.4,λ=0.6328三圖分別對應(yīng)于顆粒的直徑為d=0.001,1.030μm,。而d圖為顆粒直徑d=100μm時散射花樣的局部放大,。可見,,隨著顆粒尺寸的增大,,前向散射迅速加強,并且出現(xiàn)了復(fù)雜的旁瓣,。

實部(a)與虛部(b)的變化情況,。可見隨著m1m2的增大,,雖然顆粒的尺寸保持不變,,但散射也加強,且后向散射隨著m1m2的增大而加強,。

3給出有關(guān)消光系數(shù)的計算結(jié)果,,其中a)b)分別表示消光系數(shù)隨折射率實部與虛部的變化情況??梢婋S著顆粒直徑的增大,,消光系數(shù)趨近于2; 折射率的增大,尤其是折射率虛部的增大,,使這一趨近變得更快和更明顯,。另外當(dāng)折射率的虛部m2= 0時,,消光系數(shù)隨顆粒直徑的增大而振蕩;但當(dāng)m20 時,,振蕩迅速消失。

光強最大值處所對應(yīng)的FM(Z)的值即由上式確定,。由上式也可見:此極限情況下的焦移大小主要由S0/fNa所決定,。

 

參考文獻:

[1]M. Bor n and E. Wolf, Principles of optics ( sixt hedition ) , Pergaman Press ( OXFORD, NEW YORK, PARIS) , pp611(1980)

[2]Peter Chylek, V. Ramasw amy , A. Ashkin and J.M . Dziedzic,Simultaneous determination o f refractiv endex and size o f spherical dielectric particles from light scattering data,Appl. Opt . ,Vo l. 22, No . 15, p2302- 2307(1983)

[3]J. V. Dave, Repo rt 320 - 3237 ( IBM Scientific center , 1968)

[4]W. J. Lentz, Appl. Opt. , 15, 668( 1976)W. J. Wiscome, Appl. Opt, Vol. 19, No. 9, pp1505( 1980)

[6]顧冠亮等, 有關(guān)光散射物理量的數(shù)值計算, 上海機械學(xué)院學(xué)報, 1984 4 pp21

[7]余其錚等, Mie 散射算法的改進, 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 1987 3 , pp21

[8]鄭剛等, M ie 散射的數(shù)值計算, 應(yīng)用激光, Vol.12, No . 5, pp220( 1992)

[9]H. C. v an de Hulst , Lig ht scatter ing by small particles,Do ver Publica tion lnc. , New Yor k, chp. 13( 1981)

 


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